1999年から2013年の最終シーズンまで、クライヴ・グリーンスミスは世界的に有名な東京クヮルテットの一員で、ニューヨークのカーネギー・ホール、シドニー・オペラハウス、ロンドンのサウスバンク・センター、パリのシャトレ座、ベルリン・フィルハーモニー、ウィーン楽友協会、そして東京のサントリーホールなどの名高い国際的な会場で毎年100を超える演奏を行っていた。彼は、アンドラーシュ・シフ、ピンカス・ズーカーマン、レオン・フライシャー、リン・ハレル、ドミトリー・シトコヴェツキー、アリシア・デ・ラローチャ、そしてエマニュエル・アックスなどの国際的な演奏家たちとコラボレーションも行っている。

グリーンスミスは世界中の有名な音楽祭にゲスト出演している。北米において彼は、アスペン音楽祭、マールボロ音楽祭、ミュージック・アット・メンロー音楽祭、ラホヤ音楽祭、サンタフェ室内楽音楽祭 、クリーヴランド室内楽音楽祭、そしてラヴィニア音楽祭で演奏している。彼はリンカーン・センター室内楽協会の定期的なゲストで、2020年にはポール・ホアン、ウー・ハン、そしてマシュー リップマンと共に全国ツアーを行う。国際的には、彼はオーストリアのザルツブルク音楽祭、スコットランドのエディンバラ国際フェスティバル、日本のパシフィック・ミュージック・フェスティバル札幌、そしてホンコン・アート・フェスティバルに出演している。ソロ奏者として、クライヴ・グリーンスミスは、ロンドン交響楽団、ロイヤル・フィルハーモニー管弦楽団、ソウル市立交響楽団、そしてローマのRAI国立交響楽団などと共演している。

25年以上のキャリアの中で、グリーンスミスは画期的な録音のカタログを作成した。最も顕著な例としては、東京クヮルテットと共にハルモニア・ムンディに録音したベートーヴェンの弦楽四重奏曲全集、東京クヮルテットとのモーツァルトのプロシャ王四重奏曲、ボリス・ベルマンと共にビダルフ・レコーディングズに録音したブラームスのチェロ・ソナタ、そしてジョン・ナカマツとジョン・マナセとハルモニア・ムンディに録音したベートーヴェンとブラームスのクラリネット三重奏曲がある。彼が2019年春に、テオドレ・クチャルとリヴィウ国立フィルハーモニー交響楽団と世界初演したパール・ヘルマンのチェロ協奏曲が、トッカータ・クラシックスからリリースされる。

グリーンスミスは英国の王立ノーザン音楽大学でアメリカ人のチェロ奏者、ドナルド・マッコールに学び、そこで名誉高いジュリアス・イッサーリス奨学金の受給者となった。その後彼は、ドイツのケルン音楽舞踊大学でロシア人のチェロ奏者、ボリス・ペルガメンシコフに学んだ。

1987年に、彼はロンドン交響楽団と協奏曲デビューを果たし、イタリアのトリエステのセルジオ・ロレンツィ室内楽コンクールで一位を受賞し、カルタニッセッタ二重奏コンクールでも一位を受賞した。最も注目すべきは、彼が1991年に、イタリアのクレモナで開催された第１回プレミオ・ストラディバリの主要な受賞者だったことである。

若い音楽家たちの指導と育成に熱心に取り組んでいるクライヴは、優れた教師としての長いキャリアを積んできた。東京クヮルテットとの15年のイエール大学でのアーチスト・イン・レジデンスに加え、グリーンスミスは、ユーディ・メニューイン音楽学校、英国の王立ノーザン音楽大学、サンフランシスコ音楽院、そしてンハッタン音楽学校の教職員を務めた。2013年に東京クヮルテットの最終公演を終えた後、グリーンスミスはコルバーン・スクールの教員に加わり、音楽院と音楽アカデミーでチェロを教え、室内楽を指導している。グリーンスミスの教え子たちは、世界中のオーケストラで主要な地位を獲得しており、数々の権威ある賞を受賞している。2019年の７月に、彼はギュンター・ピヒラーの後任として、シエナにあるキジアーナ音楽院の国際音楽祭とサマーアカデミーの弦楽室内楽の監督として就任する。

元ロンドンのロイヤル・フィルハーモニー管弦楽団の首席チェロ奏者であるグリーンスミスは、ピアニストのジョン・キムラ・パーカーとヴァイオリン奏者のマーティン・ビーヴァーと共に、モントローズ三重奏の創設メンバーである。

クライヴ・グリーンスミスは英国の王立ノーザン音楽大学で学んだ。1987年に、彼はロンドン交響楽団と協奏曲デビューを果たした。彼は世界中の数々の音楽祭で演奏しており、彼の幅広い録音カタログで知られる。その中には世界最高の作曲家による作品が含まれている。2019年の7月に、彼はギュンター・ピヒラーの後任として、シエナにあるキジアーナ音楽院の国際音楽祭とサマーアカデミーの弦楽室内楽の監督として就任する。